|z-z0| < r (z0 ), где
r (z0 )-радиус
сходимости степенного ряда. 
C
(g),
то все z g- правильные точки f(z). Если f(z) задана
в 
,
то граничные точки могут быть как правильными, так и особыми. 2. Нули аналитической функции.
Пусть f(z)
C(g); f(z0)=0,
z0g,
тогда z0 - нуль
аналитической функции . f(z)=
cn(z-z0)n => c0 =0. Если c 1=…= cn-1 =0, а c n
0,
то z 0 - нуль n-того
порядка. Заметим, что в нуле n-того порядка f(z0)=f'(z0)=… f(n-1)(z0)=0, f(n)(z0)
0 и
f(z)=(z-z0)n f1(z),
f1(z0)0.Теорема о нулях аналитической функции.
Пусть f(z)
C (g) и обращается в 0 в бесконечном
множестве различных точек (z i
zk , все z
n g и f(z n )=0), имеющем предельную точку (точку сгущения) z
*g(
zn=z* g).
Тогда f(z)
0, для z g.Доказательство. По непрерывности f(z*)=0 => f(z)=
cn(z-z*)n , где |z-z *|< r
(z*) => c0 =0, и
f(z)=(z-z *)f1(z); f1(z)= cn(z-z*)n; f1(zn
)=0=> по непрерывности f
1(z*)=0 => c1 =0 и так далее => c n =0 для " n. Итак f(z)0 в круге |z-z *|
< r (z* ),
где r (z* ) не меньше, чем расстояние от z *
до 
. Тождественное равенство f(z)0 во всей области g
доказывается аналогично доказательству
принципа максимума Достаточно показать, что f(z ** )=0, где z **
g - произвольная точка, лежащая вне круга
|z-z *| < r (z* ). Соединим z * и z ** спрямляемой кривой L, целиком лежащей в g и отстоящей
от на
расстояние d>0. Поскольку " точку круга |z-z *|< r (z* ), лежащую
внутри g можно рассматривать как предел последовательности нулей функции f(z),
то выбрав в качестве нового центра разложения последнюю точку z=z
1 пересечения кривой L с
окружностью |z-z *|= r (z*
), получим, что f(z)0 внутри круга |z-z
1|< r (z1 ), где r (z1)
d. Продолжая этот процесс, покроем кривую L
конечным числом кругов, радиусов не меньше d, внутри которых f(z)0. При этом точка z=z
** попадет внутрь последнего
круга => f(z **) 0. В силу
произвольности z ** => f(z) 0 в g.
n Следствия.
1. Все нули f(z)
C (g) и f(z) тождественно 0 в g - изолированные. 2. Если f(z)
C (g)
и f(z) тождественно 0 в g, то в " ограниченной '
g может
быть лишь конечное число нулей f(z). Доказательство Если множество нулей в
'- бесконечно, то из него можно выделить пооследовательность,
сходящуюся к z
' =>f(z)
0 в g, что противоречит условию. n 2. Если f(z)- целая , то в " ограниченной
' может быть лишь конечное число
нулей f(z). На расширенной комплексной плоскости целая функция может иметь лишь счетное число нулей,
причем предельноой точкой этого множества является бесконечно
удаленная точка . 3. Теорема единственности определенной аналитической функции.
Теорема. Если f1 (z) и f 2(z)
C (g)
и $ {zn}
z*g, zizk и f
1(zn)=f2(zn ), то f 1(z)f2 (z) для " zg.Для доказательства достаточно при помощи теоремы о нулях установить, что функция h(z)=f 1(z)-f2(z)
0 в g.
Следствия теоремы единственности.
Множество задания аналитической функции.
В области g может существовать только одна аналитическая функция, принимающая заданные значения на
a) {zn}
z*g, zizkb ) x
C g, C- кусочно-гладкая кривая.
c) z
' g. Другими словами: Функция аналитическая в g однозначно определяется заданием своих значений на a), b), c).
Существенное замечание. Может - не значит существует. Нельзя произвольно задавать значения f(z n ) или f(C) или f(
') !